Chủ Nhật, ngày 07 tháng 10 năm 2012

bài tập 9: tìm 3 số

Bài tập 9:
Tìm 3 số có tổng bằng 210 biết 6/7 số thứ 1bằng 9/11 số thư 2 và bằng 2/3 số thứ 3

giải:

Quy đồng tử số các phân số ta có:
6/7 = 18/21
9/11 = 18/22
2/3 = 18/27
Vậy:
18/21 số thứ nhất = 18/22 số thứ hai = 18/27 số thứ ba.
1/21 số thứ nhất = 1/22 số thứ hai = 1/27 số thứ ba.
Suy ra nếu chia số thứ nhất thành 21 phần bằng nhau thì số thứ hai sẽ gồm 22 phần và số thứ ba gồm 27 phần như thế.
Tổng số phần bằng nhau là:
21 + 22 + 27 = 70 ( phần )
Số thứ nhất là:
210 : 70 x 21 = 63
Số thứ hai là :
210 : 70 x 22 = 66
Số thứ ba là:
210 : 70 x 27 = 81

Thứ Ba, ngày 02 tháng 10 năm 2012

Bài tập 8 -Lũy thừa

Bài tập 8 - Lũy thừa
Tìm chữ số tận cùng của:
a) 74^30     b) 49^31         c) 87^32            d) 58^33

Giải:

Lưu ý trước khi giải loại toán này  ta có các qui luật số học sau:

số tự nhiên có số tận cùng là 0 hoặc là 1 hoặc là 5 hoặc là 6 khi lũy thừa lên bao nhiêu cấp thì số tận cùng của nó cũng là chính số tận cùng của cơ số ban đầu
     Ví dụ1:  10^2 =100
                10^3= 1000
                10^4= 10000
     Ví du2:  11^2=121
                  11^5= 161051
                  11^6= 1771561
     Ví du3:   15^2=225
                   15^3=3375
                   15^4=50625
                   ..................
      Ví du4: 26^2= 676
                  26^3= 17576
                  26^4= 456976
                 .......................
a) 74^30 = ((74)^2)^15 = 5476^15 ------------> áp dụng ở ví dụ 4 ta có ngay đáp án là 6
b) 49^31 = 49^30*49 = ((49^2)^15)*49 = 2401^15 *49
     2401^15 ---------> áo dụng ví dụ 2 ta có số tận cùng của 2401^15 là 1 . Vậy
     2401^15 *49 ---------> số tận cùng của tích này sẽ là 9 tại vì 9*1 = 9 đó chính là đáp án của phần b này
c) 87^32 = ((87^4)^8 = 2401^8 -----------> áp dụng ví dụ 2 ta có đáp án là 1
d) 58^33 = 58^32 * 58 = ((58^4)^8)*58 = (11316496 ^8)*58 -----> áp dụng ví dụ 4 ta có số tận cùng của 11316496^8 là 6 vì vậy số tận cùng của tích 11316496^8 * 58 sẽ là 8 bởi vì 8* 6 = 48

Chủ Nhật, ngày 16 tháng 9 năm 2012

Bài tập 7

Bài tập 7:
Để đánh số trang của 1 quyển sách dày 2748 trang, người ta  cần dùng bao nhiêu chữ số?

Giải:
từ 1 đến 9:                   9 chữ số
từ 10 đến 99:         ( 99-9)x2= 180 chữ số
từ 100 đến 999:   (999-99)x3=2700 chữ số
từ 1000 đến 2748: (2748-999)x4= 6996 chữ số

tổng cộng: 9 + 180 + 2700 + 6996 = 9885 chữ số

Bài tập 6

Bài tập 6: trong 1 đoàn khách du lịch nước ngoài có:
                -28 người biết tiếng Anh
                - 13 người biết tiếng Pháp
                - 10 người biết tiếng Nga
                - 8 người vừa biết tiếng Anh vừa biết tiếng Pháp
                - 6 ngươi vừa biết tiếng Anh vừa biết tiếng Nga
                - 5 người vừa biết tiếng Pháp vừa biết tiếng Nga
                - 2 người biết cả 3 thứ tiếng
                - 41 người không biết cả 3 thứ tiếng
             Hỏi đoàn khách đó có bao nhiêu người.

Giải:
biểu đồ vent 

Ta diễn đạt tập họp 3 nhóm người bao gồm nhóm biết tiếng Anh bằng vòng tròn A
Nhóm người biết tiếng Pháp bằng vòng tròn B
Nhóm biết tiếng Nga bằng vòng tròn C thông qua biểu đồ Vent trên ta thấy
Tập hợp A ={a, e, d, g} = 28
Tập hợp B = {b, e, g, f} = 13
Tập hợp C = {c, d, g, f} = 10
Tập hợp đoàn khách du lịch ={a, b, c, e, d, f, g, 41}= ?

Dựa vào biểu đồ Vent trên ta có:
Tập hợp số người biết tiếng Anh và Pháp là = {e, g}=8
Tập hợp số người biết tiếng Anh và Nga là = {d, g}=6
Tập hợp số người biết tiếng Pháp và Nga là = {f, g}=5
Tập hợp số người biết tiếng Anh, Pháp và Nga là {g} = 2
  e= 8-g = 8-2 = 6
  d= 6-g = 6-2 = 4
  f= 5-g = 5-2 = 3

a= A - e -d - g =28-6-4-2 = 16
b= B - e - f - g = 13-6-3-2= 2
c= C - d - f - g= 10-4-3-2 = 1

Vập tập hợp đoàn khách du lịch là = 16 +2 +1 + 6 + 4 + 3 + 2 + 41 =75 













Thứ Bảy, ngày 15 tháng 9 năm 2012

Bài tập 5

Người ta viết liên tiếp các số tự nhiên tạo thành 1 dãy:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12...

a) Chữ số 545 kể từ bên tay trái là chữ số nào?
b) Chữ số 5 của số 215 đứng ở vị trí thứ bao nhiêu kể từ bên trái của dãy số trên?

bài giải:

a) Để dễ tính toán ta phân dãy số ra thành các vùng tính toán khác nhau
vùng 1: từ 1 đến 9 có 9 chữ số chữ số thứ 9 là chữ số 9
vùng 2: từ 10 đến 99 mỗi số có 2 chữ số ; số lượng chữ số trong vùng này là 2x90=180 chữ số
Tổng cộng từ số 1 đến số 99 có số chữ số vùng 1 + số chữ số vùng 2 = 9+180 = 189 chữ số
Số lượng chữ số còn lại bắt đầu từ số 100 đến chữ số thứ 545 kể từ bên trái là: 545 -189 = 356 chữ số
Từ số 100 đến số 999 có tấ cả 999 - 100 = 899 số con số . Số chữ số phải nhiều gấp 3 lần . Tức là số chữ số từ số 100 đến số 999 là  : 899 x 3 = 2697 chữ số. Số chữ số từ 1 đến 999 là : 189 + 2697 = 2886 chữ số. Ví vậy chữ số thứ 545 kể từ bên trái trong dãy số nêu trên nằm trong khoảng số từ 100 đến 999
vùng 3 : bắt đầu từ số 100 đến số 999 mỗi số có 3 chữ số vì vậy số lượng các số thứ tự  trong 356 chữ số còn lại được tính như sau: 356: 3 = 118 dư 2
Vì vậy ta khẳng định chữ số thứ 545 kể từ bên trái là chữ số thứ 2 của số thứ 119 kể từ số 100 trở đi
Nghĩa là số  100 +119 = 219 . Chữ số thứ 2 của số 219 là số 1. Ta đã có câu trả lời cho phần a.
b) Dựa vào kết quả của phần a  là chữ số thứ 545 là số 1 của số 219 trong dãy số nêu trên . Số thứ tự chữ số 5 của số 215 được tính như sau:
545 - 3x(219-215) = 533

fontchu.com

Chủ Nhật, ngày 26 tháng 8 năm 2012

Dấu hiệu chia hết cho 2 đến 15

dấu hiệu chia hết cho:

2: khi chữ số hàng đơn vị là chẵn
3: khi tổng các chữ số chia hết cho 3 : ví dụ: 351 có tổng các chữ số là 3+ 5 + 1=9 chia hết cho 3
4:hai số cuối cùng chia hết cho 4 : ví dụ: 6532 có hai số cuối cùng là 32 chia hết cho 4
5:khi số hàng đơn vị là 0 hoặc 5: ví dụ: 49325 hoặc 3333330 đều chia hết cho 5
6: nếu chia hết cho 2 và cho 3 ( kết hợp dấu hiệu chia hết cho 2 và cho 3). ví dụ: 126 chia hết cho 6
7: cách 1:Trước hết phân chia các hệ số cho các chữ số cần xét tính từ hàng đơn vị lần lượt là 1,3,2,(-1),(-3),(-2). Sau đó nhân các chữ số với hệ số vừa phân tương ứng. Sau đó cộng tất cả lại. Nếu tổng đó chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7.
   ví dụ: 101976 được tính như sau: 6*1+7*3+9*2+1*(-1)+0*(-3)+1*(-2)=42 chia hết cho 7 vậy 101976 chia hết cho 7
   cách 2:
Ta có số abcde
Lấy chữ số đâu tiên bên trái nhân với 3 rồi cộng với chữ số thứ hai rồi trừ cho bội của 7 được bao nhiêu nhân với 3 rồi cộng với chữ số thứ 3 rồi trừ cho bội của 7; được bao nhiêu nhân với 3 cộng với chữ số thứ tư rồi trừ cho bội của 7... Nếu kết quả cuối cùng là một số chia hết cho 7 thì số đã cho chia hết cho 7. 

(( ( ( (a*3 + b) - B1)*3 + c )-B2)*3 + d ) -B3                         với B1, B2, B3 ... là bội của 7 

ví dụ 3724 

        ( 3*3 + 7) - 2*7 = 2

       ( 2*3 + 2) - 7*1 = 1


       ( 1*3 + 4) - 7*1 = 0               0 chia hết cho 7 vậy số 3724 chia hết cho 7




Cho một số nguyên nào đó, tách số hàng đơn vị ra ta được 2 số (tách Ab ta đc A và b, A là 1 số nguyên, b là số có 1 chữ số).Để kiểm tra xem Ab có chia hết cho 7 thì ta kiểm tra A - 2 * b có chia hết cho 7.  Lặp lại (như bài trước).Để kiểm tra xem Ab có chia hết cho 11 thì ta kiểm tra  A - 1 * b có chia hết cho 11. Lặp lại quy trình.Để kiểm tra xem Ab có chia hết cho 13 thì ta kiểm tra  A - 9 * b có chia hết cho 13. Lặp lại quy trình.
Các hệ số của b được thể hiện trong bảng sau:
k    7    11   13   17   19   23   29   31 ...
hs  2     1     9     5    17   16   26    3 ...
Cần c/m: Ab chia hết cho k <=> A - hs * b chia hết cho k.
C/m:
1. Tìm 2 số m và n, m và n ko chia hết cho k sao cho m * (10A + b) + n (A - hs * b) = (10m+n) * A + (m-h*hs) * b có  (10m+n) và (m-h*hs) chia hết cho k.
2. Khi đó m * (10A + b) + n (A - hs * b) chia hết cho k nên (Ab chia hết cho k) <=> (A - hs * b chia hết cho k).
Ví dụ: 10A + b + 4 * (A - 2 * b) = 14A - 7b: 14 và 7 chia hết cho 7.
Ví dụ: 10A + b + 1 * (A - 1 * b) = 11A - 0b: 11 và 0 chia hết cho 11.
Ví dụ: 10A + b + 3 * (A - 9 * b) = 13A - 26b: 13 và 26 chia hết cho 13.
Các bạn có thể tự thêm vào bảng đó dễ dàng. Thanks.
TÌM NHANH MỘT SỐ CHIA HẾT CHO 7
 Hãy viết hoặc nói ra ngay một số N bất kỳ gồm ít nhất 6 chũ số vói yêu cầu ðuọc ðặt ra là: Bắt ðầu bằng chũ số 3 và phải chia hết cho 7
Bạn có thể thục hiện  ngay ðuọc ðiều yêu cầu này không? Có lẽ hoi khó và tốn nhiều thòi gian ðể tính toán. Tuy nhiên, nếu bạn nắm ðuọc nhũng dấu hiệu ðặc biệt của phép chia hết cho 7 thì bạn có thể tính nhẩm ngay trong ðầu ra con số nói trên một cách nhanh chóng!...
Bạn hãy cùng XYZ làm một ví dụ
" Tìm một số N gồm 11 chũ số, chũ số thú ba tính tù trái qua là số 8, số này phải thoả ðiều kiện là chia hết cho 7.
XYZ có thể ðua ra ngay con số ðó là 88888800000
Tù số này bạn có thể suy ra ðuọc nhiều con số khác cũng thoả ðuọc ðiều kiện ðặt ra. Chẳng hạn nhu nhũng số sau ðây: 18811800000, 18811807000, 18811807154, v. v. . .
Hãy chọn số 18811807154 ðể có vẽ phúc tạp hon nhũng số khác. 
Dụa vào dấu hiệu nào ðể có thể xác ðinh nhanh chóng ðuọc nhũng số này chia hết cho 7.
Bạn hãy cùng XYZ ði nguọc dòng suy diễn:
1. Con số cãn bản ðầu tiên bạn bạn dụa vào là số 111111
Ðây là số chia hết cho 7. Dễ dàng kiểm tra ðuọc ðiều này.
2. Vì 111111 x 8 = 888888. Nên số 888888 cũng chia hết cho 7
Chú ý: Chũ số thú 3 tính tù trái qua là số 8 ðúng theo yêu cầu ðặt ra.
3. Vì 888888 - 700000 - 700 - 70 = 188118
Tất cả các số hang ỏ vế 1 ðều chia hết cho 7, nên dễ dàng suy ra 188118 chia hết cho 7.
4. Vậy số : 18811800000 = 188118 x 100000 cũng chia hết cho 7, phải không ban?
Ðây là số ðã thoả ðuọc yêu cầu ðặt ra: " Gốm 11 chũ số, chũ số thú ba là số 8, số này chia hết cho 7 ".
5. Tuy nhiên, ðể con số bạn ðua ra có vẽ phúc tap, khó hiểu, bạn có thể tiếp tục suy diễn ra một vài con số khác hon.
Ví du: Cộng thêm 7000 vào số này: 7000 + 18811800000 = 18811807000.
 6. Tiếp tục cộng thêm một bội số của 7. Ví dụ cộng thêm vào: [7 x 20 = 140].
 Lúc này số thành là 18811807140 cũng chia hết cho 7.
7. Và sau cùng: 18811807140 + 14 = 18811807154 chắc chắn chia hết cho 7
Trên ðây là cách suy diễn riêng của XYZ. Bạn có thể suy diễn khác hon, nhanh gọn hon.
Tuy nhiên, ðiều co bản là cần nắm ðuọc tính chất của con số 111111
Số này chia hết cho 3, 7, 11, 13, 37.
Bạn có thể tìm hiểu thêm về con số 111111 này ỏ nhũng tiết mục khác: " Số 1001", "Số 111".


8: 3 chữ số cuối chia hết cho 8
9: tổng các chữ số chia hết cho 9
10: số hàng đơn vị là chữ số 0
11: tổng các chữ số có vị trí lẻ và tổng các chữ số ở vị trí chẳn có hiệu chia hết cho 11
12: kết hợp các dấu hiệu chia hết cho 3 và 4
13





Lũy thừa

tính tổng A= 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ....+ 2^60

Nhân 2 vế với 2:  2A= 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 +... + 2^61  lấy biểu thức này trừ đi cho biểu thức trước ta được

2A - A = 2^61 - 2^1
A = 2^61 - 2


chứng minh A= 2^1+2^2+.....+2^60 chia hết cho 3, 7 và 15

A chia hết cho 3 :
trước hết phân tích các số hạng ra thừa số chia hết cho 3
băng cách nhóm 2 số hạng lại 1 và đặt thừa số chung là 2+1 cứ như vậy ta có
A= 2(1+2) + 2^3(1+2) + ... + 2^59(1+2)
vì mỗi nhóm đều có thừa số chia hết cho 3 (1+2) nên A chia hết cho 3

A chia hết cho 7:
tương tự ta nhóm 3 thành phần lại và đặt thừ số chung là (1+2+4) ta có:
 A= 2(1+2+4) + 2^4(1+2+4) + 2^7(1+2+4) +...+ 2^58(1+2+4)
Vì mỗi nhóm đều có thừa số (1+2+4) chia hết cho 7 nên A chia hết cho 7

A chia hết cho 15:
Tương tự ta nhóm 4 thành phần của A thành 1 nhóm, mỗi nhóm có thừa số chung là (1+2+4+8)
A= 2(1+2+4+8) + 2^5(1+2+4+8) + 2^9(1+2+4+8) +...+ 2^57(1+2+4+8)
vì mỗi nhóm đều có thừa số (1+2+4+8)=15 chia hết cho 15 nên A chia hết cho 15.